حقائق محيرة جدًا في الرياضيات

يعتقد بعض الناس أن الرياضيات مملة.
ومع ذلك، وفي نفس الوقت، تكون هذه المبرهنات في أغلب الحالات شديدة الغرابة وغير بديهية.

ولكن كما ستوضح هذه الأمثلة هي ليست كذلك أبدًا.

الأنماط العشوائية

بشكلٍ غريب، معظم البيانات العشوائية ليست في الواقع عشوائية جدًا.

في قائمة معينة لأرقام تعبر عن أي شيء من أسعار الأسهم أو التعداد السكاني لمدينة أو نسب ارتفاع مبانٍ إلى أطوال أنهار، ستبدأ 30 بالمئة من تلك الأرقام بالرقم 1.

وستبدأ نسبة أقل منهم بالرقم 2، وأيضًا نسبة أقل من تلك بالرقم 3، وهكذا، حتى تكون نسبة الأرقام التي تبدأ بالرقم 9 حوالي رقم واحد من كل عشرين رقم.

وكلما ازداد حجم مجموعة البيانات، وغطى مجالًا أكبر، سيظهر هذا النمط بشكل أكثر وضوحًا.

مجموعات الأعداد الأولية اللولبية

بسبب كون الأعداد الأولية غير قابلة للقسمة (ما عدا قابلية قسمتها على نفسها وعلى العدد واحد)، وبسبب إمكانية كتابة كل الأرقام الأخرى على شكل مضاعفات لها، يُنظر إلى الأعداد الأولية كالذرات في عالم الرياضيات.

ولكن بالرغم من أهميتهم، مازال توزيع الأعداد الأولية عبر الأعداد الصحيحة لغزًا.

لا يوجد أي نمط يُحدِّد أي الأعداد ستكون أوليَّة أو كم يبعد عددان أوليان متتاليان عن بعضهما.

تجعل هذه العشوائية الظاهرية للأعداد الأولية من النمط الذي وُجِدُ في “مجموعة أولام اللولبية” أمرًا غريبًا جدًأ.

في عام 1963، لاحظ عالم الرياضيات ستانيسلو أولام (Stanislaw Ulam) نمطًا غريبًا أثناء العبث في دفتر ملاحظاته خلال عرض تقديمي: عندما تُكتب الأعداد الصحيحة بشكل لولبي أو على شكل مجموعات لولبية، يبدو أن الأعداد الأولية تتوضع دائمًا على خطوط قطرية.

لم يكن هذا الأمر بحد ذاته مفاجئ جدًا، لأن كل الأعداد الأولية ما عدا العدد 2 هي فردية، والخطوط القطرية في الأشكال اللولبية للأعداد الصحيحة هي زوجية وفردية بالتناوب.

ولكن الأمر المثير للذهول هو ميل أو نزعة الأعداد الأولية لتتوضع على بعض الخطوط القطرية أكثر من غيرها – وهذا يحدث في حال بدأنا بالعدد 1 في المنتصف أو أي رقم آخر.

حتى إذا انتقلت إلى مقاييس أكبر بكثير، كما في الصورة في الأسفل التي تبيّن مئات الأرقام، يمكنك رؤية خطوط قطرية واضحة من الأعداد الأولية (النقاط السوداء)، مع كون بعض الخطوط أكثر شدَّة من غيرها.

هناك بعض التخمينات الرياضية لسبب ظهور هذه الأنماط الرياضية، ولكن لم يتم إثبات أي شيء منها حتى الآن.

سحب الوجه الداخلي لكرة نحو الخارج

في مجال هام من الرياضيات يدعى علم الفراغ (الطبولوجيا)، يُعتبر جسمان متكافئان أو “هومورفيان”، إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر ببساطة عن طريق فرد سطحه، ويُعتبر هذان الجسمان مختلفان إذا تتطلبت عملية إعادة تشكيل أحد السطحين إلى الآخر قطع أو تجعيد (طي مع تشويه) هذا السطح.

فلنأخذ علي سبيل المثال النتوء المستدير (torus)، وهو الجسم الذي له شكل قطعة الدونات والمبين في الشكل الأعلى .

إذا قمت بقلبه نحو الأعلى وقمت بتوسيع أحد الجوانب وتمديد القسم العلوي له، ستحصل على جسم أسطواني له مقبض.

وبالتالي تنص إحدى دعابات الرياضيات التقليدية على أن علماء علم الفراغ غير قادرين على التمييز بين قطعة الحلوى الخاصة بهم (دونات) وبين أكواب قهوتهم.

ولكن من الناحية الأخرى، لا تُعتبر شريطة موبيوس – وهي حلقة تحوي على التواء واحد – والحلقات الخالية من الالتواءات (الأسطوانات) جسمان هومورفيان، لأنك لا تستطيع إزالة الالتواء من شريطة موبيوس من دون أن تقطعها ثم تقلب أحد الأطراف وثم تعيد وصل الطرفين.

لطالما تسائل علماء علم الفراغ إذا ما كانت المجسم الناتج عن قلب الوجه الداخلي للكرة نحو الخارج يتميز بتشابه هومورفي (homeomorphic) مع مجسم الكرة قبل قلبها.

بكلمات أخرى، هل يمكنك قلب الوجه الداخلي لكرة نحو الخارج؟ في البداية يبدو الأمر مستحيلًا، لأنه من غير المسموح حفر ثقب في الكرة وسحب الوجه الداخلي نحو الخارج.

ولكن في الحقيقة، من الممكن سحب الوجه الداخلي لكرة نحو الخارج أو ما هو معروف باسم sphere eversion.

شاهد الفيديو المبين في الرابط التالي لتعرف كيف تتم هذه العملية.

 

والأمر الذي لا يصدق أن عالم علم الفراغ بيرنارد مورين، وهو أحد المطوريين الرئيسين لطريقة قلب الوجه الداخلي لكرة نحو الخارج، كان أعمى.

رياضيات الحائط

بالرغم من إمكانية تزين الأنماط الهندسية بعدد لانهائي من الأنماط الزخرفية، من الناحية الرياضية يوجد عدد منتهي من هذه الأنماط الرياضية المميزة.

يمكن تعريف كل لوحات إيشر (نسبة إلى الفنان ماوريتس كورنيل إيشر)، وكل أوراق الحائط (الخلفيات)، وتصاميم البلاط وفي الواقع كل الترتيبات المتكررة ثنائية البعد من الأشكال بأنها تنتمي إلى إحدى المجموعات المعروفة بمجموعات أوراق الحائط.

ولكن السؤال كم عدد هذه المجموعات؟ والجواب هنا هو 17 مجموعة فقط.

السوناتة

” مثل إحدى القصائد الشعرية الخاصة بشيكسبير (سوناتة) والتي تُصوِّر جوهر الحب، أو مثل لوحة تُظهر الجمال البشري الذي هو أكثر بكثير من الشكل الخارجي، تصل معادلة أولر إلى أكثر مستويات الوجود عُمقًا”

كتب عالم الرياضيات في جامعة ستنافورد كيفين ديفيلن هذه الكلمات، في وصف المعادلة المبينة في الشكل، في مقالة نُشرت في عام 2002 تحت اسم “المعادلة الأكثر جمالًا”.

ولكن لماذا معادلة أولر خاطفة للأنفاس؟ وماذا تعني؟

أولًا، الحرف “e” يعبر عن عدد حقيقي وغير عادي (أي له عدد غير منتهي من الخانات)، والذي يبدأ بالأرقام (2.71828…).

اُكتشِفَ هذا العدد في سياق الفائدة المركبة بشكل مستمر، حيث يحكم هذا العدد معدل النمو الأسي، من التعداد السكاني للحشرات وحتى تراكم الفائدة ووصولًا إلى التفكك الإشعاعي.

في الرياضيات، يملك هذا العدد بعض الخواص المفاجئة حقًا مثل كونه – باستخدام تعابير رياضية – مساويًا لمجموع مقاليب عاملي الأرقام من صفر وحتى اللانهائية.

في الواقع، ينتشر الثابت “e” بشكل كبير في الرياضيات، حيث يبدو أنه يظهر من العدم في عدد كبير من المعادلات الهامة.

ثانيَا، يعبر الحرف “i” عن ما يُسمى بالعدد التخيلي: الجذر التربيعي للرقم سالب واحد أو (-1).

يُسمى بهذا الاسم بسبب عدم وجود أي عدد إذا ضُرب بنفسه كان الناتج عددًا سالبًا (وبالتالي الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية حقيقية).

ولكن في الرياضيات، هناك العديد من الحالات التي تستدعي أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب.

وبالتالي يُستخدم الحرف “i” كنوع من الإشارة إلى القيام بهذا الأمر.

يُعتبر الرمز باي، وهو نسبة محيط دائرة إلى قطرها، واحدًا من الأعداد الرياضية المحببة وأكثرها إثارة للاهتمام.

بشكل مشابه للرمز “e”، يبدو أنه يظهر بشكل مفاجئ في عدد هائل من الصيغ الرياضية والفيزيائية.

وبجمع كل ما سبق، الثابت “e” مرفوعًا للقوة العدد التخيلي “i” مضروبًا بالثابت باي، يكون الناتج مساويًا للرقم -1 .

وكما يبدو من معادلة أولر، جمع الرقم 1 إلى هذه الصيغة يعطي الناتج صفر.

قد يبدو من الصعب التصديق أن كل هذه الأعداد الغريبة – حتى أن أحدها ليس حقيقيًا – ستجتمع بهذا الشكل الأنيق والبسيط.

ولكنها حقيقية مُثبتة.

ولذلك تُعتبر الرياضيات واحدة من المجالات القليلة في المعرفة التي يمكن وصفها بشكل موضوعي كحقيقة، وذلك لأن مبرهناتها مُستمدَّة من المنطق البحت.